Page 12 - El Modelo de Regresión Lineal

( ))(
( )
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
V β = E  (  β − E β β − E β T 
( )) 
 
)(
( )
ˆ
ˆ
ˆ
V β = E  (  β −β β β )  T  (14)
−
 
ˆ
T
De la expresión (11) sabemos que β β = ( X X t ) − 1 X ε ;
T
−
t
t
t
entonces, al sustituir en (14) y desarrollar:
( )
ˆ
T
T
V β = E     (  X X t ) − 1 X ε t  ( X X t ) − 1 X ε t  T   
T
T


t
t
t
t
    
( )
(
ˆ
V β = E  (   X X ) − 1 X ε  ε X X X )  − 1  
T
T
T
T

  t t t t  t t t t 
( )
(
ˆ
T
T
V β = E  (  X X ) − 1 X ε ε X X X )  − 1 
T
T
 t t t t t t t t 
(
) (
( ) (
ˆ
V β = X X t ) − 1 X T E ε ε X X X t ) − 1 (15)
T
T
T
t
t
t
t
t
t
(
Puesto que E ε ε T t ) =  I, entonces:
2
t
(
( ) (
ˆ
V β = X X ) − 1 X T  IX X X ) − 1
T
T
2
t t t t t t
( )
1
−
ˆ
T
V β =  2 ( X X t ) ( X X ) ( X X t ) − 1
T
T
t
t
t
t
( )
ˆ
V β =  2 ( X X t ) − 1 (16)
T
t
La expresión (16) es una matriz cuadrada de orden k + 1 con las
varianzas de los estimadores en la diagonal principal y las
8