Page 40 - El Modelo de Regresión Lineal

(
ˆ
ˆ ε ε = Mε ) T Mε
T
t t t t
ˆ
T
ˆ ε ε = ε M Mε
T
T
t t t t
ˆ
T
ˆ ε ε = ε Mε
T
t t t t
Al utilizar el operador traza y ordenar:
(
ˆ
T
ˆ ε ε = tr ε Mε )
T
t t t t
(
ˆ
T
ˆ ε ε = tr ε ε M )
T
t t t t
Al obtener el valor esperado y desarrollar:
( ˆ E ε ε t ) ( ( t T t ))
ˆ
E tr ε ε M
T
=
t
( ˆ E ε ε ) ( ( T ) )
ˆ
tr E ε ε M
T
=
t t t t
(
( ˆ E ε ε t ) = tr  IM )
ˆ
T
2
t
( ˆ E ε ε t ) =  2 tr M
( )
ˆ
T
t
(
T
T
Sustituimos M I X X X ) − 1 X en la expresión anterior:
=
−
t t t t
(
( ˆ E ε ε t ) =  2  tr I X X X t ) − 1 X T  t  
ˆ
T
T
−

t
t
t

(

( )
ˆ
T
T
( ˆ E ε ε t ) =  2    tr I − tr X X X t ) − 1 X T  t     

t
t
t

( ˆ E ε T t ˆ ε t ) =  2 ( n − ( k + 1 ))

36